Le blog de Phil

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Tout se démontre en mathématique

Ce qui fait la force d’une matière scientifique, c’est que tout se démontre. En fait, il n’y a rien à apprendre dans une matière scientifique, seulement une démarche à comprendre.

On est en plein dans l’application du livre de Descartes, discours de la méthode.

Si on comprend le raisonnement, on retrouve tout.

Cet aspect est valable dans toutes les matières, y compris en Histoire. Seulement, là, il y a un minimum à apprendre (comme les dates, par exemple) afin d’avoir un bon argumentaire.

Je pense aussi que la politique devrait prendre exemple sur la pensée scientifique.

Donc tout se démontre en mathématique (et en science en général).

Prenons les médiatrices d’un triangle.

Pour mémoire, il faut rappeler que la médiatrice d’un segment [AB] est l’ensemble des points M à égal distance de A ou de B.

En résumé, M appartient à la médiatrice de [AB] si AM = MB.

Pour en revenir au triangle, prenons un triangle ABC. Soit O l’intersection des médiatrices de [AB] et [BC].

AO = OB car O est sur la médiatrice de [AB].

BO = OC car O est sur la médiatrice de [BC].

Au final on en déduit que:

  • AO = OC ce qui implique que O est sur la médiatrice de [AC]. Cela veut dire que les médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.
  • OA = OB = OC ce qui implique que le point d’intersection  des médiatrices est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

Le problème est que la démonstration de certain théorème est plus compliquée que d’autre. Dans le cas des hauteurs par exemple, je pense que c’est plus dur.

On peut aussi citer le théorème de d’Alembert qui est le seul théorème admis en classe préparatoire.

Ce qui fait que ma position est la suivante:

Quand un théorème peut être démontré, il doit toujours l’être.

La démonstration d’un théorème est partie intégrante du cours de mathématique, car la démonstration fait partie de la formation de l’esprit humain.

Dans la vie de tous les jours, il est inutile de savoir le théorème de Pythagore.

Par contre, savoir l’utiliser, vérifier que les hypothèses sont bien présentes avant vérification, ça c’est important dans la vie de tous les jours.

Former l’esprit critique, le raisonnement, c’est fondamental.

Si le raisonnement des français avait été mieux formé, la tranche à 75% ne serait jamais passée!

La démonstration d’un théorème fait partie de cette formation de l’esprit, surtout si la dite-démonstration est simple et prend seulement quelques lignes!

Je conçois que démontrer que les hauteurs d’un triangle se coupent en l’orthocentre soit difficile.

Je conçois qu’en collège que démontrer que les médianes se coupent en un point est compliqué (bien que l’on pourrait, fin de troisième, y aller par la géométrie analytique en faisant de ABC un repère pour les vecteurs ou les équations de droites).

Mais démontrer que les médiatrices sont concourantes, ça prend seulement quelques lignes. Sinon, c’est que la notion de médiatrice a été mal vue.

Démontrer que les bissectrices sont concourantes, ça prend seulement quelques lignes aussi.

Je pense que c’est dommage de passer à côté de ces deux dernières démonstrations.

Il en est de même pour le théorème de Pythagore. La mienne est à mon avis abordable en 4ème une fois que l’on a abordé le cosinus.

On ne fait que de la trigonométrie dans un triangle.

Il en existe aussi des plus simples, comme par soustraction d’aire (voir Wikipédia).

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25 janvier 2013 - Posted by | Politique, Politique nationale | , , , ,

Un commentaire »

  1. tout est démontrable en mathématique? voilà qui avait échappé à Gödel et Cantor!

    Commentaire par universmultiples | 25 janvier 2013 | Réponse


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