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Le théorème de Thalès (1/2): Le théorème de Thalès est un thérème vectoriel

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Il n’y a pas longtemps, je parlais du théorème de Pythagore, théorème évoqué en classe de 4ème.

S’en est suivi un débat pour savoir s’il faut le démontrer ou pas s’il est abordé.

Ma position est largement oui !

La démonstration d’un théorème fait partie de la formation de l’esprit critique.

Je pense que ce débat est loin d’être anecdotique.

C’est un débat sur la façon d’aborder la connaissance, en particulier la connaissance formelle.

Pour ma part, former l’esprit critique, le raisonnement, c’est permettre à l’élève d’avoir les outils pour se représenter le monde dans lequel il évolue, et de se représenter et agir avec le monde dans lequel il évolue.

C’est pour ça que j’ai décidé d’aborder le second théorème évoqué en collège, le théorème de Thalès.

A mon époque, il était abordé en classe de 3ème.

Dans les années 2005, il fut abordé en classe de 4ème.

En réalité, je pense que ce théorème est loin d’être aussi évident que ça.

Dans cette partie, je vais rappeler que le théorème de Thalès est avant tout un théorème vectoriel.

La démonstration présentée est niveau seconde.

Soit un triangle ABC, triangle quelconque.

On définit :

image003

 

 

image004

 

 

Le nombre k est un réel non nul.

Notons que k peut-être négatif.

Si 0<k<1, on a affaire à première figure.

Si k>1, on a affaire à la seconde figure.

Enfin, si k<0, on a affaire à la troisième figure.

Je rappelle aussi que:

image006

 

 

En utilisant la relation de Chasles:

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Les droites (MN) et (BC) sont parallèles car portées par des vecteurs colinéaires.

Par ailleurs, on a une relation sur les longueurs:

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Rappelons également que le théorème des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès, k = 1/2.

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10 février 2013 - Posted by | Mes réflexions, Uncategorized | , , , , ,

4 commentaires »

  1. je ne crois pas qu’il soit possible d’évoquer k(u+v)=ku+kv en vectoriel puisque la démonstration de cette propriété emploie thalés

    Commentaire par Alain Van Compernolle | 14 mai 2013 | Réponse

    • Bonjour,
      Je ne suis que physicien, et pire, je ne fais plus de physique. Il fallait bien que je gagne ma vie :-).
      Néanmoins, je ne pense pas que votre remarque soit valable.
      Effectivement, si je prend une base, on a u(x,y,z) et v(x’,y’,z’).
      k.u + k.v = (k.x + k.x’, k.y + k.y’, k.z + k.z’) = k (x + x’, y + y’, z + z’) = k ( u + v).

      En étant plus général, cette propriété est propre à ce que l’on appelle les espaces vectoriels ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel ).
      Dans un espace vectoriel V, si v et u sont deux vecteurs de l’espace vectoriel, et k un réel, alors k.u + k.v = k.(u + v).
      Notons que k peut-être un nombre complexe.

      Notons que pour l’équation différentiel y »+y, je peux fabriquer un espace vectoriel de dimension deux pour l’ensemble des solutions.
      On a les vecteurs (ici des fonctions) cos(x) et sin(x).
      Si on a u = 2 cos(x) + 5 sin(x), v = 3 cos(x) et 8 sin(x), 3u + 3v = 6 cos(x) + 15 sin(x) + 9 cos(x) + 24 sin(x) = 15 cos(x) + 39 sin(x) = 3 * (5 cos(x) + 13 sin(x) ) = 3 (u + v).

      Commentaire par Le blog de Phil | 15 mai 2013 | Réponse

  2. Bonjour,
    Rem1: Tout cela est une histoire de construction de la théorie. Si l’on choisi de mettre la propriété de distributivité dans les axiomes, alors le théorème de Thales est une conséquence des choix de départ et réciproquement bien-sur. Le seul « petit » problème. ce serait que la propriété soit (parfaitement) équivalente au théorème de Thales.
    Rem2: Faire des démonstrations n’apporte pas forcément un surplus d’esprit critique aux élèves. Tout dépend de comment les choses sont faites. Si les élèves apprennent par cœur des démonstrations, cela ne sert pas à grand chose.
    Rem3: On parle souvent de « la » démonstration d’un théorème mais la plupart des fois. on devrait plutôt parler « d’une » démonstration.

    Bien à vous.

    Ciola

    Commentaire par Ciola | 21 août 2015 | Réponse

    • Rem4 : Le théorème de Thales par du fait que les droites BC et MN sont parallèles. Vous avez l’aire de traiter sa réciproque et non le théorème lui-même.
      Personnellement, je partirais de :
      MN = k BC, AM = n AB et AN = p AC (vectoriellement) ce qui traduit le fait que :
      MN et BC sont parallèles
      A, M et B sont alignés
      A, N et C sont alignés
      Il reste à montrer que k=n=p.
      Je l’ai fait et c’est une autre paires de manche.

      Ciola

      Commentaire par Ciola | 26 février 2017 | Réponse


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