Le blog de Phil

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Malakoff, dérivée et dette

Continuons l’étude de la dette de Malakoff.

Cette fois-ci, je vais m’intéresser à la fonction dette et plus exactement à sa dérivée.

A la différence du calcul ayant pour objectif de se projeter sur l’avenir (ou plus exactement d’avoir une idée de l’avenir), on va s’intéresser au passé.

Les données sont prises ici.

Soit D(t) la dette de Malakoff durant l’année t.

On peut supposer que la fonction D aura certaines propriétés.

La première propriété est d’être continue.

Effectivement, pour toute date de t correspond une valeur de D, et cette valeur est unique.

On n’est pas dans le cas de la fonction f(x) = 1/x avec une discontinuité en x = 0 ;

Mais plus fort, on va supposer qu’en plus, la fonction D est dérivable.

En chaque point, il est possible de calculer la valeur D(t + dt) – D(t)/dt quand dt est proche de zéro.

Notons que toutes fonctions dérivables sur un intervalle est continue sur son intervalle de dérivation, mais la réciproque n’est pas vrai.

Toutes fonctions continues sur un intervalle n’est pas forcement dérivable sur son intervalle de continuité.

On appelle v(t) la vitesse de dette.

Si v > 0, cela veut dire que la dette augmente. Cela correspond à la contraction d’emprunts.

Si v < 0, cela veut dire que la dette diminue. On est dans une phase de remboursement de la dette.

Si v = 0, cela signifie que la dette va rester constante.

Après, on peut supposer que D(t) est positif ou nul.

Si D > 0, cela signifie que l’on a de la dette en cours.

Si D = 0, cela signifie que l’on ne doit rien à personne.

On peut néanmoins imaginer un système où D peut être négatif.

Cela signifierait que l’on doit de l’argent à la commune.

Néanmoins, dans la pratique, D(t) > 0.

Evidemment, on n’a pas une expression exacte de D(t).

Du coup, on est obligé d’approximer v(t).

En se basant sur la formule de Taylor, on pourrait montrer qu’on peut approximer la dérivée par :

v(t) = D(t + dt) – D(t – dt) / 2dt.

Certes, le « dt » n’est pas assez petit, mais on s’en contentera pour faire des calculs.

Avec Excel, on arrive à :

Année Encours dette (millier d’euro) vitesse de dette (k€/an)
2000 5726
2001 4 913 -456,5
2002 4 813 -482
2003 3949 3673
2004 12159 8817
2005 21583 10607,5
2006 33374 9800,5
2007 41184 6952
2008 47278 2759,5
2009 46703 -1718,5
2010 43841 -2983
2011 40737 -2956
2012 37929

On voit que la dérivée est négatif jusqu’en 2002.

Normal, de 2002 à 2003, on rembourse de la dette.

Par contre, la dérivée est positive de 2003 à 2008.

On retrouve notre période d’investissement qui correspond au mandat 2001-2008.

Point important, en se référant à la courbe représentative, on observe que la dérivée est de plus en plus importante.

Cela veut dire que la commune, durant cette période, a emprunté de plus en plus, augmentant beaucoup plus rapidement la valeur de ce qu’elle empruntait chaque année.

En 2007-2008, la dérivée diminuait. On a donc toujours une augmentation de la dette mais une augmentation moins rapide.

En 2009, la dérivée est enfin négative. On rembourse enfin de la dette.

Notons enfin que la dérivée est pratiquement constante en 2010-2011. On retrouve un remboursement constant de dette sur cette dernière période.

dette_malakoff_1

vitesse_dette

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10 mars 2014 - Posted by | Finances locales, Malakoff, Politique, politique locale | , , , ,

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