Malakoff, dérivée et dette

Continuons l’étude de la dette de Malakoff.

Cette fois-ci, je vais m’intéresser à la fonction dette et plus exactement à sa dérivée.

A la différence du calcul ayant pour objectif de se projeter sur l’avenir (ou plus exactement d’avoir une idée de l’avenir), on va s’intéresser au passé.

Les données sont prises ici.

Soit D(t) la dette de Malakoff durant l’année t.

On peut supposer que la fonction D aura certaines propriétés.

La première propriété est d’être continue.

Effectivement, pour toute date de t correspond une valeur de D, et cette valeur est unique.

On n’est pas dans le cas de la fonction f(x) = 1/x avec une discontinuité en x = 0 ;

Mais plus fort, on va supposer qu’en plus, la fonction D est dérivable.

En chaque point, il est possible de calculer la valeur D(t + dt) – D(t)/dt quand dt est proche de zéro.

Notons que toutes fonctions dérivables sur un intervalle est continue sur son intervalle de dérivation, mais la réciproque n’est pas vrai.

Toutes fonctions continues sur un intervalle n’est pas forcement dérivable sur son intervalle de continuité.

On appelle v(t) la vitesse de dette.

Si v > 0, cela veut dire que la dette augmente. Cela correspond à la contraction d’emprunts.

Si v < 0, cela veut dire que la dette diminue. On est dans une phase de remboursement de la dette.

Si v = 0, cela signifie que la dette va rester constante.

Après, on peut supposer que D(t) est positif ou nul.

Si D > 0, cela signifie que l’on a de la dette en cours.

Si D = 0, cela signifie que l’on ne doit rien à personne.

On peut néanmoins imaginer un système où D peut être négatif.

Cela signifierait que l’on doit de l’argent à la commune.

Néanmoins, dans la pratique, D(t) > 0.

Evidemment, on n’a pas une expression exacte de D(t).

Du coup, on est obligé d’approximer v(t).

En se basant sur la formule de Taylor, on pourrait montrer qu’on peut approximer la dérivée par :

v(t) = D(t + dt) – D(t – dt) / 2dt.

Certes, le « dt » n’est pas assez petit, mais on s’en contentera pour faire des calculs.

Avec Excel, on arrive à :

Année	Encours dette (millier d’euro)	vitesse de dette (k€/an)
2000	5726
2001	4 913	-456,5
2002	4 813	-482
2003	3949	3673
2004	12159	8817
2005	21583	10607,5
2006	33374	9800,5
2007	41184	6952
2008	47278	2759,5
2009	46703	-1718,5
2010	43841	-2983
2011	40737	-2956
2012	37929

On voit que la dérivée est négatif jusqu’en 2002.

Normal, de 2002 à 2003, on rembourse de la dette.

Par contre, la dérivée est positive de 2003 à 2008.

On retrouve notre période d’investissement qui correspond au mandat 2001-2008.

Point important, en se référant à la courbe représentative, on observe que la dérivée est de plus en plus importante.

Cela veut dire que la commune, durant cette période, a emprunté de plus en plus, augmentant beaucoup plus rapidement la valeur de ce qu’elle empruntait chaque année.

En 2007-2008, la dérivée diminuait. On a donc toujours une augmentation de la dette mais une augmentation moins rapide.

En 2009, la dérivée est enfin négative. On rembourse enfin de la dette.

Notons enfin que la dérivée est pratiquement constante en 2010-2011. On retrouve un remboursement constant de dette sur cette dernière période.